Eigenstates and Eigenvalues

4.9 Eigenstates and Eigenvalues

Operator real umumnya A (x). Operator ini akan menunjukkan fungsi gelombang yang berbeda saat menjadi fungsi gelombang umum yaitu ψ (x) tetapi bisa juga manjadi fungsi gelombang asli dan fungsi ini disebut dengan eigenstates dan kelipatan disebut nilai-nilai eigen

                                                                                               

                                                                                    ………………………………….(1)

Bila  a adalah bilangan kompleks, maka ψa disebut eigenstate dari A yang terkait dengan nilai eigen a. Misalkan A adalah matriks Hermitian operator sesuai dengan beberapa variabel dinamis fisis. Dari fungsi gelombang ψa diharapkan A lebih sederhana sehingga menjadi:

                                                                                    …………………………………….(2)

                                                                                                …………………………….(3)

Variasi dari A adalah

                                                            …………………………….(4)

Varian nol melambangkan setiap pengukuran adalah terikat untuk menghasilkan hasil yang sama: yaitu, a. Dengan demikian, ψa eigenstate adalah keadaan yang berhubungan dengan nilai unik dari variabel dinamis yang sesuai dengan nilai unik A yang terkait nilai eigen.

pembuktian bahwa nilai eigen dari operator Hermite semuanya adalah real.
                                                                                                …………………………….(5)

Jika                          menjadi

                                                                                                            …………………………….(6)

           

                        a=a* merupakan ψa yang normal

fungsi gelombang ψ1(x) dan ψ2(x) disebut orthogonal jika,

                                                                                                            …………………………….(7)

Eigenstates dari A ψa dan  ψa’ berhubungan dengan perbedaan nilai a dan a’ berturut- turut menjadi,

                                                                                                            ………………………..(8)

 

                                                                                                            …………………………(9)

                                                                                                            …………………………(10)

a≠a'

                                                                                                            ………………………….(11)

Catatan, bahwa setiap kombinasi linier dari ψa dan ψ'a juga merupakan eigenstate dari A sesuai dengan nilai eigen a. Jadi, jika ψa dan ψ'a tidak ortogonal,selalu dapat dipilih duakombinassi linier dari eigenstates yang ortogonal. Misalnya, jika ψa dan ψ'a benar dinormalisasi, dan mudah ditunjukkan,

                                                                                                …………………………(12)

                                                                                                ………………………….(13)

bahwa eigenstate benar dinormalisasi dari A, sesuai dengan suatu nilai eigen, yang
ortogonal untuk ψa. Hal ini mudah untuk menggeneralisasi argumen di atas untuk tiga atau lebih
eigenstates merosot. Oleh karena itu, kita menyimpulkan bahwa eigenstates dari operator Hermitian dapat dipilih untuk menjadi, saling ortogonal. Hal ini juga mungkin untuk menunjukkan bahwa eigenstates dari operator Hermitian membentuk menyelesaikan bahwa setiap fungsi gelombang umum dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari eigenstates ini.

Pembuktian operator Hermitian A, setiap fungsi gelombang umum, ψ (x), dapat
ditulis

                                     ;                          ; ;                                           ……………………(14)

δij disebut  Kronecker delta-functio. dan nilai kedua index adalah sama dan nol sebaliknya.

                                                                                    ………………………………….(15)

                                                                                    ………………………………….(16)

Dengan demikian, koefisien ekspansi dalam Pers. (14) mudah ditentukan, mengingat fungsi gelombang ψ dan ψi eigenstates. Selain itu, jika fungsi gelombang ψ adalah benar dinormalisasi.

4.10 PENGUKURAN

Misalkan A adalah matriks Hermitian operator sesuai dengan beberapa variabel dinamis. Dengan analogi dengan diskusi dalam,diharapkan bahwa jika pengukuran A menghasilkan pengukuran akan menyebabkan fungsi gelombang runtuh. Fungsi gelombang ψ, adalah kombinasi linear dari eigenstates dari A, seperti persamaan,

                                                           

                                                                                    ………………………………….(17)

 

                                                           

                                                                                    …………………………………(18)

 

…………………………………(19)

Dua di atas persamaan 18 dan 19 kemudian dikurangirangi ke | c1 | 2 = x, dan | c2 | 2 = 1 - x, dimana 0 ≤ x ≤ 1, dan
                                                                                  ………………………………….(20)

Satu-satunya solusi adalah x = 0 dan x = 1. Hasil ini dapat dengan mudah digeneralisasikan ke kasus di mana ada lebih dari dua eigenstates. Ini mengikuti bahwa suatu nilai tertentu dari A adalah satu di mana salah satu | ci | 2 adalah kesatuan, dan laina adalah nol.
Dengan kata lain, hanya terkait dengan nilai-nilai yang pasti dari A adalah eigenstates A. Hal ini segera mengikuti bahwa hasil pengukuran dari A harus menjadi salah satu nilai eigen dari A. Selain itu, jika fungsi gelombang umum diperluas sebagai kombinasi linear dari eigenstates A.
Pertimbangkan dua variabel dinamis fisik diwakili oleh dua operator Hermitian A dan B. Jadi, untuk sekaligus mengukur A dan B (persis) ada harus ada eigenstates simultan dari A dan B. Bahkan, dalam rangka untuk A dan B untuk secara simultan terukur dalam semua keadaan, kita perlu semua eigenstates A juga menjadi eigenstates dari B, dan sebaliknya, sehingga semua terkait dengan dengan nilai-nilai A juga terkait dengan nilai-nilai dari B, dan sebaliknya.
jika A dan B tidak bolak-balik (yaitu, jika AB = BA 6) maka mereka tidak dapat simultaneouslymeasured. Hal ini menunjukkan bahwa kondisi untuk pengukuran simultan adalah bahwa A dan B harus bolak-balik.

Misalkan bahwa ini adalah kasus, dan bahwa ψi dan ai adalah eigenstates dinormalisasi dan nilai eigen dari A, masing-masing.

………………………..(21)
atau

…………………………(22)

Jadi, Bψi adalah eigenstate A yang terkait dengan nilai eigen (meski tidak harus satu normal).  Dimana bi adalah konstanta proporsionalitas. Oleh karena itu, ψi adalah eigenstate dari B, dan, dengan demikian, eigenstate simultan dari A dan B. Kita menyimpulkan bahwa jika A dan B perjalanan kemudian memiliki eigenstates simultan, dan dengan demikian secara bersamaan terukur (persis).

4.11 Nilai Eigen Kontinu

Dalam dua bagian sebelumnya berhubungan dengan operator memiliki nilai eigen diskrit dan persegi eigenstates diintegrasi. Operator utamanya, x dan p-memiliki nilai eigen yang berada dalam kisaran yang kontinyu dan non-persegi-diintegrasi eigenstates. Oleh karena itu, menyelidiki eigenstates dan nilai eigen dari perpindahan dan momentum operator.

 ψx (x, x ') menjadi eigenstate dari x yang sesuai dengan nilai eigen x'.

                                                                                                            ………………………….(23)

                                                                                                            ………………………….(24)

                                                                                                            ………………………….(25)

                                                                                                            ………………………….(26)

ψx(x, x′)

                                                                                                            ………………………….(27)

δ(x − x′)                                                                   

…………………………(28)

f (x) adalah fungsi umumsehingga dapat di tulis

                                                                                     ..……………………….(29)
dimana c (x ') = ψ (x'), atau
                                                                                                 …………………………(30)

fungsi gelombang umum ψ (x) sebagai kombinasi linear dari eigenstates, ψx (x, x '), dari perpindahan operator. Persamaan (28) dan (29) yang analog dengan Pers. (27) dan (30), masing-masing, untuk persegi integrable eigenstates. Sehongga diperoleh kepadatan probabilitas dari pengukuran x menghasilkan nilai x 'adalah | c (x') |2, yang setara dengan hasil standar | ψ (x ') | 2. Selain itu, probabilitas ini benar dinormalisasi disediakan ψ (x) adalah menjadi,

                                                                                                            …………………………(31)

jika pengukuran x menghasilkan nilai x 'maka sistem dibiarkan sesuai perpindahan eigenstate, ψx (x, x '), segera setelah pengukuran: yaitu, fungsi gelombang gugur ke "fungsi spike", δ (x - x '), seperti yang dibahas Sekarang, sebuah eigenstate dari p Operator momentum    sesuai dengan nilai eigen p' yang memenuhi
                                                                                                            ………………………..(32)

                                                                                                            ………………………..(33)

ψp(x, p′)

                                                                                                            ………………………..(34)

persamaannya menjadi,
                                                                                                            ………………………..(35)

                                                                                                            ………………………..(36)

c(p′) = φ(p′)

                                                                                    …………………………(37)

 

Sehingga menjadi,                                                                                       ……………………(38)

Akhirnya, jika pengukuran  p menghasilkan nilai p 'maka sistem dibiarkan sesuai momentum eigenstate, ψp (x, p '), segera setelah pengukuran.

4.12 strasioner
Sebuah eigenstate operator energi                 sesuai dengan nilai eigen Ei
memenuhi
                                                                                                            ………………………….(38)

                                                                                     terbukti                       ...…………….(39)

dimana ψi (x) adalah stasioner yang dinormalisasi (yaitu, non-waktu bervariasi) fungsi gelombang. Fungsi gelombang ψE (x, t, Ei) sesuai dengan keadaan yang disebut stasioner,karena probabilitas kepadatan | ψE | 2 adalah non-waktu bervariasi. Substitusi dari ekspresi di atas ke dalam persamaan Schroodinger yang menghasilkan

                                                                                                            ………………………..(40)

 

pers. Schr¨odinger                                                                   ……………………………….(41)

                                                                                                ………………………………..(42)

                                                                                                ………………………………..(43)

Di sini, | ci |² adalah probabilitas.Pengukuran energi akan menghasilkan nilai eigen Ei. Selanjutnya, pengukuran dibiarkan sesuai eigenstate energi. Generalisasi dari hasil di atas kasus H memiliki nilai eigen secara terus menerus. Jika variabel dinamis diwakili oleh beberapaOperator Hermite  dengan H (memiliki eigenstates simultan dengan H), dan tidak tergantung waktu, maka itu adalah jelas dari Pers. (42) dan (43) bahwa nilai varians dari A adalah waktu independen Schr¨odinger. Ssehingga, variabel dinamis dalam pertanyaan adalah gerak konstan.